1. Reunalla pinta on korkeammalla. Toisaalta kitka pienentää virtausnopeutta reunalla ja paine on pienempi Bernoullin lain mukaan siellä, missä virtausnopeus on suurempi (vrt. lentokoneen siipi). Nämä kaksi syytä aiheuttavat, että paine pohjan reunoilla on suurempi kuin pohjan keskellä. Täten pohjalla virtausta tapahtuu reunoilta keskustaa kohti ja siis teelehdet kerääntyvät pohjan keskelle.(Keskeltä virtaus on pohjalta ylös ja pinnalla keskeltä reunalle sekä reunalla ylhäältä alas)
2. Vaahdossa on ilmakuplia. Eriväriset valot heijastuvat vähän joka suuntaan kuplista. Näin kaikki eri värit sekoittuvat ja vaahto näyttää valkoiselta.
3. Niin, että kaikki sadepisarat putoavat lakkiin ja olkapäille. Eli tyynellä säällä hieman vinossa asennossa etenemissuuntaa vastaan. Kaltevuuskulma pystysuoran suunnan kanssa olkoon a, etenemisvauhtisi V ja pisaroiden putoamisvauhti v. tan a = V/v. Kun jalkoja pitää kumminkin siirtää, nekin hieman kastuvat.
4. Arkhimedeen lain mukaan kappaleeseen nesteessä kohdistuu noste, joka on kappaleen syrjäyttämän nestemäärän paino. Jää kelluu veden pinnalla. Tällöin noste on yhtä suuri kuin jään paino. Siis syrjäytyneen veden paino on yhtä suuri kuin jään paino. Kun jääkin on vettä, täyttää jäästä tuleva vesi jään aiheuttaman ”kuopan”.
Näyttäisi siltä, että veden pinta pysyy samana. Mutta jää sulaessaan kylmentää vettä. Kylmemmän veden tiheys on suurempi joten se mahtuu pienempään tilavuuteen. Veden pinta siis laskee.
5. Merijäästä suola poistuu vähitellen. Suolaveden jäätymispiste on alempi kuin veden jäätymispiste. Suolakide sulattaa alapuoleltaan vettä ja suola vajoaa alemmaksi. Ylemmäksi jäänyt suolaton vesi jäätyy. Näin suola vajoaa vähitellen alemmaksi ja poistuu ennepitkää jäästä.
Merivesi on tiheämpää kuin puhdas vesi. Kelluvan jään syrjäyttämä merivesi painaa yhtä paljon kuin jää (ja jäästä tuleva vesi). Merivesi on siis pienemmässä tilavuudessa, joten sulava vesi ei mahdu tähän tilavuuteen ja veden pinta siis nousee (hieman).
torstai 10. joulukuuta 2009
Matematiikan pulmien ratkaisuja
1. Piirretään neliöt vierekkäin niin, että niiden kaksi sivua ovat osittain päällekkäin ja yksi kärki on yhteisenä pisteenä. Olkoon isompi neliö ABCD (sivu olkoon a) ja sen yläpuolella pienempi neliö DEFG (sivu olkoon b). Jos uuden neliön sivu on c ja uuden neliön ala yhtä suuri kuin kahden annetun neliön alat yhteensä, on oltava c^2 = a^2 + b^2. Eli vaikuttaa Pythagoraan lauseelta. c on oltava suorakulmaisen kolmion hypotenuusa, kun kateetit ovat a ja b.
Olkoon piste H sivulla AD siten, että AH = DG = b. Tällöin HG = a, GF = b ja HF = BH = sellaisen kolmion hypotenuusa, jonka kateetitt ovat a ja b. Siis uusi neliö on BHFI, missä I on sivun DC jatkeella. Siis leikataan HGF ja siirretään se EFI:n paikalle ja ABH, joka siirretään BCI:n paikalle.
2. Oikea yhtälö neliöjuuren ottamisessa on x – v = y – v oska neliöjuuren arvojen on oltava positiivisia. Elefantti painavampi kuin keskiarvo ja keskiarvo suurempi kuin hiiren paino, joten itseisarvot poistamalla saadaan x – v = v – y (eli x + y = 2v)
3. Olkoon miehen ostamien esineiden määrä = x = yhden hinta ja vaimon ostamien esineiden määrä = y = yhden sellaisen hinta. Ostosten erotus on 63 eli x^2 – y^2 = 63 eli (x + y)(x –y) = 63. Koska esineiden määrä on kokonaisluku, ovat myös x + y ja x – y kokonaislukuja. Kun 63 = 1 * 63 = 3*21 = 7*9 saadaan kolme yhtälöparia A: x + y= 63 ja x – y = 1 , B: x + y = 21 ja x – y = 3 C: x + y = 9 ja x – y = 7, joista ratkaisuna A: x = 32 ja y = 31 , B: x = 12 ja y = 9 ja C: x = 8 ja y = 1.
Heimo osti 23 esinettä enemmän kuin Kaija , joten Heimo on Ax (A-yhtälön x) ja Kaija on By.
Erkki käytti 11 € enemmän kuin Gerda, joten Erkki on Bx ja Gerda on Cy. Jäljelle jää Olli, joka on Cx ja Anna on Ay. Pareja ovat siis Heimo ja Anna, Erkki ja Kaija sekä Olli ja Gerda.
4. Olkoon rahojen määrät x , y ja z. Saadaan kaksi yhtälöä x + y + z = 100 ja 0.5x + 5y + 10 z = 100. Eliminoidaan x kertomalla ensimmäinen yhtälö -1:llä ja toinen 2:lla ja lasketaan nämä yhteen. Siis 9y + 19 z = 100. Lähdetään yhtälöstä 9y + 19z = 1, jolle huomataan ratkaisu y = -2 ja z = 1. 9y + 19z = 100 ratkaisuksi kelpaa siis y = -200 ja z = 100. Muita ratkaisuja saadaan lisäämällä y:hyn 19 monikertoja ja z:aan 9 monikertoja y = -200 + 19n ja z = 100 – 9n. Kun vastaukseksi kelpaa vain kokonaislukuja n > 200/19 = 10,5 ja n < 100/9 = 11,1 eli n = 11
Tällöin y = 9 ja z = 1 ja x = 90. Siis 90 kpl 50 senttisiä, 9 kpl 5 € ja 1 kpl 10 €.
5. Otetaan uusi luku 0 mukaan ja ryhmitellään luvut 0 – 9999 pareihin 0 ja 9999 , 1 ja 9998 , 2 ja 9997 ,… 4999 ja 5000. Eli, jos jonkin luvun numerot ovat abcd on parinsa numerot (9-a)(9-b)(9-c)(9-d). numeroiden summat ovat a + b + c + d + 9 – a + 9 – b + 9 – c + 9 – d = 36. Pareja on kaikkiaan 5000 kappaletta, joten näiden summa on 5000 * 36 = 180000. Puuttuu vielä luku 10000 , josta yksi lisää summaan. Nolla tuli mukaan ylimääräisenä, mutta se ei lisää summaa. Siis summa on 180001.
Olkoon piste H sivulla AD siten, että AH = DG = b. Tällöin HG = a, GF = b ja HF = BH = sellaisen kolmion hypotenuusa, jonka kateetitt ovat a ja b. Siis uusi neliö on BHFI, missä I on sivun DC jatkeella. Siis leikataan HGF ja siirretään se EFI:n paikalle ja ABH, joka siirretään BCI:n paikalle.
2. Oikea yhtälö neliöjuuren ottamisessa on x – v = y – v oska neliöjuuren arvojen on oltava positiivisia. Elefantti painavampi kuin keskiarvo ja keskiarvo suurempi kuin hiiren paino, joten itseisarvot poistamalla saadaan x – v = v – y (eli x + y = 2v)
3. Olkoon miehen ostamien esineiden määrä = x = yhden hinta ja vaimon ostamien esineiden määrä = y = yhden sellaisen hinta. Ostosten erotus on 63 eli x^2 – y^2 = 63 eli (x + y)(x –y) = 63. Koska esineiden määrä on kokonaisluku, ovat myös x + y ja x – y kokonaislukuja. Kun 63 = 1 * 63 = 3*21 = 7*9 saadaan kolme yhtälöparia A: x + y= 63 ja x – y = 1 , B: x + y = 21 ja x – y = 3 C: x + y = 9 ja x – y = 7, joista ratkaisuna A: x = 32 ja y = 31 , B: x = 12 ja y = 9 ja C: x = 8 ja y = 1.
Heimo osti 23 esinettä enemmän kuin Kaija , joten Heimo on Ax (A-yhtälön x) ja Kaija on By.
Erkki käytti 11 € enemmän kuin Gerda, joten Erkki on Bx ja Gerda on Cy. Jäljelle jää Olli, joka on Cx ja Anna on Ay. Pareja ovat siis Heimo ja Anna, Erkki ja Kaija sekä Olli ja Gerda.
4. Olkoon rahojen määrät x , y ja z. Saadaan kaksi yhtälöä x + y + z = 100 ja 0.5x + 5y + 10 z = 100. Eliminoidaan x kertomalla ensimmäinen yhtälö -1:llä ja toinen 2:lla ja lasketaan nämä yhteen. Siis 9y + 19 z = 100. Lähdetään yhtälöstä 9y + 19z = 1, jolle huomataan ratkaisu y = -2 ja z = 1. 9y + 19z = 100 ratkaisuksi kelpaa siis y = -200 ja z = 100. Muita ratkaisuja saadaan lisäämällä y:hyn 19 monikertoja ja z:aan 9 monikertoja y = -200 + 19n ja z = 100 – 9n. Kun vastaukseksi kelpaa vain kokonaislukuja n > 200/19 = 10,5 ja n < 100/9 = 11,1 eli n = 11
Tällöin y = 9 ja z = 1 ja x = 90. Siis 90 kpl 50 senttisiä, 9 kpl 5 € ja 1 kpl 10 €.
5. Otetaan uusi luku 0 mukaan ja ryhmitellään luvut 0 – 9999 pareihin 0 ja 9999 , 1 ja 9998 , 2 ja 9997 ,… 4999 ja 5000. Eli, jos jonkin luvun numerot ovat abcd on parinsa numerot (9-a)(9-b)(9-c)(9-d). numeroiden summat ovat a + b + c + d + 9 – a + 9 – b + 9 – c + 9 – d = 36. Pareja on kaikkiaan 5000 kappaletta, joten näiden summa on 5000 * 36 = 180000. Puuttuu vielä luku 10000 , josta yksi lisää summaan. Nolla tuli mukaan ylimääräisenä, mutta se ei lisää summaa. Siis summa on 180001.
keskiviikko 2. joulukuuta 2009
Kotona taas
Sunnuntai meni matkustaessa. Kaustislaiset lähtivät jo aamuviideltä. Lennon hinta oli halvempi, mutta mutkaisempi. Välilasku Frankfurtiin ja Helsingissä vain hieman ennen muita, jotka lähtivät 8.30. Viimeinen lento Helsingistä Kruunupyyhyn sitten yhdessä.
Maanantaina CERN ilmoitti sitten lyöneensä maailmanennätyksen hiukkaskiihdyttimien sarjassa. Protoneille saatiin 1,18 TeV energia ja Fermilabin entinen ennätys 980 GeV tuli näin reilusti ylitetyksi. Kapasiteettia on vielä runsaasti jäljellä 7 TeV ehkä joskus ensi vuonna.
Lopuksi haluan kiittää Reaa ja Teemua, jotka hallitsivat englantia minua paremmin (mutta sain minäkin kinkkupitsan tilattua), ja ennenkaikkea oppilaita. He olivat mallikelpoisesti mukana. Toivotan kaikille hyvää joulun odotusta ja menestystä työssä sekä opinnoissa.
Maanantaina CERN ilmoitti sitten lyöneensä maailmanennätyksen hiukkaskiihdyttimien sarjassa. Protoneille saatiin 1,18 TeV energia ja Fermilabin entinen ennätys 980 GeV tuli näin reilusti ylitetyksi. Kapasiteettia on vielä runsaasti jäljellä 7 TeV ehkä joskus ensi vuonna.
Lopuksi haluan kiittää Reaa ja Teemua, jotka hallitsivat englantia minua paremmin (mutta sain minäkin kinkkupitsan tilattua), ja ennenkaikkea oppilaita. He olivat mallikelpoisesti mukana. Toivotan kaikille hyvää joulun odotusta ja menestystä työssä sekä opinnoissa.
Tilaa:
Blogitekstit (Atom)
