Matematiikan pulmien ratkaisuja

1. Piirretään neliöt vierekkäin niin, että niiden kaksi sivua ovat osittain päällekkäin ja yksi kärki on yhteisenä pisteenä. Olkoon isompi neliö ABCD (sivu olkoon a) ja sen yläpuolella pienempi neliö DEFG (sivu olkoon b). Jos uuden neliön sivu on c ja uuden neliön ala yhtä suuri kuin kahden annetun neliön alat yhteensä, on oltava c^2 = a^2 + b^2. Eli vaikuttaa Pythagoraan lauseelta. c on oltava suorakulmaisen kolmion hypotenuusa, kun kateetit ovat a ja b.

Olkoon piste H sivulla AD siten, että AH = DG = b. Tällöin HG = a, GF = b ja HF = BH = sellaisen kolmion hypotenuusa, jonka kateetitt ovat a ja b. Siis uusi neliö on BHFI, missä I on sivun DC jatkeella. Siis leikataan HGF ja siirretään se EFI:n paikalle ja ABH, joka siirretään BCI:n paikalle.

2. Oikea yhtälö neliöjuuren ottamisessa on x – v = y – v oska neliöjuuren arvojen on oltava positiivisia. Elefantti painavampi kuin keskiarvo ja keskiarvo suurempi kuin hiiren paino, joten itseisarvot poistamalla saadaan x – v = v – y (eli x + y = 2v)

3. Olkoon miehen ostamien esineiden määrä = x = yhden hinta ja vaimon ostamien esineiden määrä = y = yhden sellaisen hinta. Ostosten erotus on 63 eli x^2 – y^2 = 63 eli (x + y)(x –y) = 63. Koska esineiden määrä on kokonaisluku, ovat myös x + y ja x – y kokonaislukuja. Kun 63 = 1 * 63 = 3*21 = 7*9 saadaan kolme yhtälöparia A: x + y= 63 ja x – y = 1 , B: x + y = 21 ja x – y = 3 C: x + y = 9 ja x – y = 7, joista ratkaisuna A: x = 32 ja y = 31 , B: x = 12 ja y = 9 ja C: x = 8 ja y = 1.
Heimo osti 23 esinettä enemmän kuin Kaija , joten Heimo on Ax (A-yhtälön x) ja Kaija on By.
Erkki käytti 11 € enemmän kuin Gerda, joten Erkki on Bx ja Gerda on Cy. Jäljelle jää Olli, joka on Cx ja Anna on Ay. Pareja ovat siis Heimo ja Anna, Erkki ja Kaija sekä Olli ja Gerda.

4. Olkoon rahojen määrät x , y ja z. Saadaan kaksi yhtälöä x + y + z = 100 ja 0.5x + 5y + 10 z = 100. Eliminoidaan x kertomalla ensimmäinen yhtälö -1:llä ja toinen 2:lla ja lasketaan nämä yhteen. Siis 9y + 19 z = 100. Lähdetään yhtälöstä 9y + 19z = 1, jolle huomataan ratkaisu y = -2 ja z = 1. 9y + 19z = 100 ratkaisuksi kelpaa siis y = -200 ja z = 100. Muita ratkaisuja saadaan lisäämällä y:hyn 19 monikertoja ja z:aan 9 monikertoja y = -200 + 19n ja z = 100 – 9n. Kun vastaukseksi kelpaa vain kokonaislukuja n > 200/19 = 10,5 ja n < 100/9 = 11,1 eli n = 11
Tällöin y = 9 ja z = 1 ja x = 90. Siis 90 kpl 50 senttisiä, 9 kpl 5 € ja 1 kpl 10 €.

5. Otetaan uusi luku 0 mukaan ja ryhmitellään luvut 0 – 9999 pareihin 0 ja 9999 , 1 ja 9998 , 2 ja 9997 ,… 4999 ja 5000. Eli, jos jonkin luvun numerot ovat abcd on parinsa numerot (9-a)(9-b)(9-c)(9-d). numeroiden summat ovat a + b + c + d + 9 – a + 9 – b + 9 – c + 9 – d = 36. Pareja on kaikkiaan 5000 kappaletta, joten näiden summa on 5000 * 36 = 180000. Puuttuu vielä luku 10000 , josta yksi lisää summaan. Nolla tuli mukaan ylimääräisenä, mutta se ei lisää summaa. Siis summa on 180001.